Stel je bent gezellig met een groep aan het bowlen. Ineens stopt het scorebord met werken. Misschien valt de stroom uit, of zit er een fout in de code, of is er een aardbeving, of hebben de aliens de bowlingbaan overgenomen. Niemand die het weet. Je wilt graag verder spelen, want wie een potje bowlen niet afmaakt heeft zeven jaar ongeluk in de liefde, maar hoe doe je dat? En, nog belangrijker, hoe doe je dat op een eerlijke wijze?
Natuurlijk zal iedereen zijn eigen score ophemelen …
“Ah, dat zijn vier punten”
“Nee nee, ik had echt wel zes pins omgegooid!”
“… nee?”
“Ik stond dichterbij. Dus ik weet het beter. Schrijf op: zes! Nu!”
… terwijl ze de scores van anderen de grond inwerken.
“Pff, dat was geen strike.”
“Jawel! Alle pins zijn omgevallen!”
“Nietes, die laatste viel door een zuchtje wind, en die ander werd omgeduwd door een mus die ineens langs vloog.”
“Ugh, ik ga nieuwe vrienden zoeken.”
Dit noem ik het scorebordprobleem.
(Vooral omdat scoreprobleem klinkt als een zeldzame ziekte, of juist de pillen die je moet slikken om die ziekte te verhelpen. “Maar dokter, wat moet ik doen om mijn vermoeidheid kwijt te raken?” “Geen zorgen, ik heb 10 mg melatonine en 20 mg scoreprobleem voorgeschreven.”)
Mijn “formele definitie” luidt:
Een groep speelt een spel, maar mist een onpartijdige scheidsrechter (in welke vorm dan ook). Hoe kun je de score eerlijk bijhouden?
Idee 1: Iedereen doet alles
De eerste gedachte is om iedereen een scheidsrechter te maken. Dit werkt als volgt:
- Alle spelers houden onafhankelijk en geheim de score bij.
- Aan het einde vergelijkt men alle scorepapieren.
- De eindscore voor een speler is gelijk aan het gemiddelde van zijn scores.
Stel drie spelers (A, B en C) spelen een spel. De scores die ze hebben opgeschreven voor speler A zijn als volgt:
- Speler A: 10 punten
- Speler B: 9 punten
- Speler C: 9 punten
Speler A probeerde zichzelf stiekem een punt meer te geven, maar dat lieten de andere spelers dus niet gebeuren! Volgens deze techniek wordt de score 9.33 = 9 punten (afgerond).
Maar is dit wel eerlijk? Kan speler A niet druk zetten op andere spelers zodat ze hem meer punten te geven? Kunnen de andere spelers niet stiekem een clubje vormen en gezamenlijk besluiten om speler A minder punten te geven?
Als alle spelers “logisch perfect” spelen zal dit niet gebeuren. Iedere speler weet immers: “als ik andermans punten omlaag gooi, doet de rest hetzelfde bij mij”. Zodoende zal niemand vals spelen, omdat dat ook nadelig is voor henzelf. (Ze weten dat, als zij beginnen met valsspelen, uiteindelijk iedereen eindigt op 0 punten. Niemand gunt elkaar punten. Vanwege een gebrek aan vertrouwen en samenwerking, kiest iedereen een suboptimale oplossing.)
Maar dit is alleen het geval wanneer men perfect speelt. Wanneer men complete informatie heeft en allemaal de perfecte zet maakt.
In het echt zullen er mensen zijn die niet vals (durven te) spelen en mensen die juist een paar extra hordes nemen. Die geven speler A maar 3 punten, ook al weten ze dat hij er 9 heeft gehaald. Dit zou het gemiddelde drastisch verlagen. Mensen zijn zó bang dat iemand anders hen benadeelt, dat ze voor de zekerheid anderen gaan benadelen om het weer “gelijk te trekken”. Ze willen misschien best eerlijk spelen, maar de onzekerheid over het eerlijke spel van de medespelers verpest het.
Opmerking: dit heeft vooral te maken met “speltheorie”. Dat is een heel vakgebied waar ik nu verder niks meer over ga zeggen. Het is wel interessant, dus zoek het vooral op als je wilt!
Vervolg idee 1: Meerderheid
We kunnen het systeem aanpassen om het eerlijker te maken. In plaats van het gemiddelde nemen we de meerderheid.
Stel opnieuw dat de scores (voor speler A) als volgt verdeeld zijn:
- Speler A: 10 punten
- Speler B: 9 punten
- Speler C: 9 punten
De score die het meeste voorkomt is 9 punten. Dus speler A krijgt maar 9 punten! Hij kan zichzelf niet meer punten geven!
Zo, opgelost. Toch? Men kan het gemiddelde niet meer omlaag halen … maar er zijn twee nieuwe problemen.
- Wat gebeurt er bij een gelijkspel?
- Men kan nog steeds samenspannen om anderen een lager punt te geven.
Misschien moeten we een nieuw idee uitproberen.
Idee 2: Een verzameling ideeën
Na lang nadenken kon ik wel veel andere manieren bedenken, maar allemaal hadden ze hun nadelen.
- Personen houden alle scores bij behalve die van henzelf. Hiermee kunnen mensen zichzelf geen extra punten geven, maar anderen kunnen je nog steeds benadelen. WERKT NIET.
- Voordeel van de twijfel. Wanneer de scores verschillen, kiest men de hoogste score, tenzij dit betekent dat iemand daarmee de koppositie pakt. Dus je kunt best vastspelen en puntjes smokkelen … maar daarmee kun je nooit winnen. Het enige probleem is: er hoeft maar één persoon te zijn die niet wil dat je wint, en dan win je niet. Die persoon schrijft een willekeurig getal op. Dan verschillen de scores, dus mag je niet de koppositie niet overnemen. WERKT NIET.
- Alleen de persoon die laatste staat houdt de score bij. Natuurlijk kan die persoon valsspelen en zichzelf een hogere positie geven … maar dan staat iemand anders laatste die hem weer naar beneden kan trekken. Het heeft dus geen enkel voordeel om oneerlijk te spelen, want je wordt daar gelijk voor bestraft, tenzij iedereen oneerlijk speelt. Dan wint de persoon die het beste oneerlijk kan spelen en zichzelf duizenden punten geeft. WERKT NIET.
- Iedereen houdt de score bij van de persoon die boven hem staat. De persoon die eerste staat houdt dan de score bij van de persoon die laatste staat. WERKT NIET. (Ik had een goede uitwerking bij dit idee, maar als ik het zo teruglees weet ik niet meer wat hier in vredesnaam het voordeel van is.)
Geen enkele methode werkt goed. Zonder onpartijdige scheidsrechter, die buiten de spelers staat, lijkt het haast onmogelijk om eerlijk een score bij te houden. Immers zal elke speler de “score” anders zien en anders behandelen.
Ik realiseerde me op dit moment dat een perfect systeem onvindbaar is. Dat is waarschijnlijk ook de reden dat ik geen wetenschappelijk onderzoek kon vinden dat ook maar iets van een oplossing bood voor dit probleem.
(Het kan natuurlijk ook komen doordat ik niet verder heb gekeken dan pagina 1 op Google. Het schijnt dat er meer pagina’s zijn. Een pagina 2, zelfs een pagina 3 en nog verder! Wie had dat gedacht? Even serieus: de eerste pagina van Google had slechts één onderzoek dat veelbelovend leek, maar dat ging uiteindelijk over iets compleet anders.)
Dus de nieuwe doelstelling wordt: hoe maak ik een zo perfect/eerlijk mogelijk scoresysteem? En daarvoor heb ik eigenlijk wel een goed idee.
Idee 3: Alles of niets
Dit is de alles of niets strategie:
- Elke keer als de score wordt geüpdatet, schrijft iedereen de nieuwe score op. (Dit gebeurt onafhankelijk en in het geheim.) Spelers schrijven ook hun eigen score op.
- Vervolgens worden de scores vergeleken en gekeken naar de meerderheid. Zo’n meerderheid moet minstens 50% van alle scores bevatten. Bij een gelijkspel of gebrek aan meerderheid pakt men het hoogste getal.
- Iedereen die afwijkt van deze score krijgt de eerstvolgende keer dat ze punten scoren géén punten.
Een voorbeeld lijkt me handig. Stel je bent weer aan het bowlen. Speler A heeft zojuist 5 kegels omgegooid. Alle spelers schrijven de score op:
- Speler A: 5
- Speler B: 5
- Speler C: 5
De meerderheid zegt “5”. Niemand wijkt daarvan af. Speler A krijgt dus 5 punten en het spel gaat door zonder problemen.
Stel nu dat speler B vals wil spelen. Hij schrijft iets anders op:
- Speler A: 5
- Speler B: 4
- Speler C: 5
De meerderheid zegt nog steeds “5”. Speler A wijkt daar niet vanaf, dus hij krijgt netjes zijn 5 punten. Speler B daarentegen wijkt ervan af en zal de volgende beurt 0 punten krijgen. Zo, dat zal hem leren.
De enige manier waarop het plan van B slaagt, is als hij op de een of andere manier met C communiceert welk getal hij op gaat schrijven, en C precies doet wat hij vraagt. Als hij dat niet (duidelijk) communiceert, of men betrapt hem op heterdaad, of C luistert niet, gaat het mis en is speler B de sjaak.
Dit geeft spelers een hele sterke reden om altijd eerlijk te zijn. Er zijn grote consequenties als ze iets anders opschrijven. Bovendien kunnen ze er nooit op rekenen dat andere spelers hetzelfde (lagere) getal gaan opschrijven.
Bijvoorbeeld: stel dat er 5 spelers zijn. Speler A staat ver voor, dus iedereen wil hem minder punten geven. Dan is het scoreverloop misschien als volgt:
- Speler A: 5
- Speler B: 4
- Speler C: 2
- Speler D: 2
- Speler E: 0
Er is geen meerderheid. Het getal 2 komt wel het vaakst voor, maar slechts 2/5 spelers heeft het opgegeven. (Onthoudt dat een meerderheid pas geldt als het minstens 50% van de stemmen bevat.) Zonder meerderheid wint het hoogste getal: A krijgt gewoon zijn 5 punten. Sterker nog, als hij aan ziet komen dat de rest vals speelt, kan hij meer opschrijven en zo meer punten krijgen :p
Vervolg idee 3: Het verschil
Een gerelateerd idee is gebaseerd op iets dat ik ooit van een caberatier hoorde. Hij zei (dit was semi-serieus bedoeld):
“In het strafrecht heb je altijd twee advocaten (van de aangeklaagde en de aanklager). De een probeert de aangeklaagde zo wit mogelijk te maken, de ander probeert hem zo zwart mogelijk te maken. Uiteindelijk geven beide advocaten een aanbeveling voor hoeveel jaar cel iemand moet krijgen, maar de rechter heeft de uiteindelijke beslissing. Stel de ene advocaat zegt “5 jaar!”, de ander zegt “15 jaar!”, en de rechter oordeelt “10 jaar!” Dan moeten beide advocaten het verschil in straf _zelf uitzitten—_dus 5 jaar voor beiden. Dit zal ze leren om samen te werken en zo tot de meest eerlijke straf te komen, in plaats van iemand volledig wit/zwart proberen te maken!”
Nou, datzelfde idee kun je hier ook gebruiken. (Maar zonder misdaden te plegen of mensen in de gevangenis te gooien.)
Het systeem werkt als volgt:
- Alle spelers schrijven de score op. (Wederom is dit onafhankelijk en geheim etc.)
- Men vergelijkt de scores en bepaalt de meerderheid. (Zelfde manier als hierboven.)
- Het verschil tussen iemands opgeschreven score en de uiteindelijke score worden strafpunten.
Het is een iets minder strak/gemeen systeem dan hierboven. Bovendien is de proportie van je straf gelijk aan de proportie waarin je vals speelde.
Neem hetzelfde voorbeeld als hierboven:
- Speler A: 5
- Speler B: 4
- Speler C: 2
- Speler D: 2
- Speler E: 0
De uiteindelijke score is 5. Dus B krijgt 1 strafpunt, C en D krijgen beide 2 strafpunten, en speler E krijgt 5 strafpunten.
Dit geeft spelers een reden om—als ze valsspelen—niet héél erg vals te spelen. Men zal hoogstens één of twee getallen ervan af zitten. Bovendien zal de speler die zijn eigen score opschrijft ook niet héél ver erboven proberen te zitten. Want dat kan ook grote strafpunten opleveren.
Vervolg idee 3: Eliminatie
In plaats van aardig zijn, kunnen we ook extreem streng zijn voor valsspelers. Het idee is waarschijnlijk al duidelijk: als je van de meerderheid afwijkt, ben je meteen uit het spel.
Nou kan het voorkomen dat mensen per ongeluk een foutje maken. Om dit te compenseren kun je zeggen “tenzij jij de enige bent die afwijkt”. Of je geeft iedereen 2 a 3 levens, maar dat is misschien te genereus.
Conclusie
Speel gewoon niet vals :p En gebruik anders een goede onafhankelijke scheidsrechter (desnoods in de vorm van een computersysteem).
Zoals je ziet is het zonder onafhankelijke scheidsrechter namelijk onmogelijk om een eerlijk scoreverloop te garanderen. Stel je bent aan het tafeltennissen met een vriend. Dan kan jij een geweldige smash plaatsen en roepen dat je een punt hebt, terwijl je vriend zegt “nee hoor, die raakte de tafel echt niet” en weigeren om dat punt te geven. Je weet zeker dat je gelijk hebt, maar je vriend houdt stug vol, en uiteindelijk is er géén perfecte manier om de waarheid te achterhalen.
Opmerking: tenzij je alles filmt. Maar zelfs dan kan jouw vriend gewoon stom voor zich uitkijken en zeggen “nee hoor, ik zie het niet, ik zie niet dat het balletje de tafel raakt” Ik zei het al aan het begin: dan moet je gewoon nieuwe vrienden zoeken. Of, nouja, misschien heeft die vriend wel een trauma omtrent tafeltennisballetjes en durft hij niet naar het filmpje te kijken. De vraag is dan natuurlijk: waarom stemde hij wél in met een potje tafeltennis?
Hopelijk vond je dit interessant om te lezen. Zo niet, dan heb je tenminste geleerd hoe je om kunt gaan met valsspelende en liegende vrienden. Of je spoort simpelweg iedereen aan om eerlijk/leuk mee te spelen en hoopt op het beste.
Dit was het scorebordprobleem en—eh—een gebrek aan oplossingen, maar wel ideeën die in de buurt komen! Tot de volgende keer bij Wiskundige Weetjes zonder Wiskunde en zonder Antwoord.